Question

2．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+4cosθ\\ y=2+4sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l經(jīng)過定點(diǎn)P（3，5），傾斜角為$\frac{π}{6}$．
（Ⅰ） 寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ） 設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由$\left\{\begin{array}{l}x=1+4cosθ\\ y=2+4sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系消去參數(shù)θ可得曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線l經(jīng)過定點(diǎn)P（3，5），傾斜角為$\frac{π}{6}$，即可得出直線l的參數(shù)方程；
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程代入圓的方程，整理可得${t^2}+（3+2\sqrt{3}）t-3=0$，進(jìn)一步得|PA|•|PB|=|t₁•t₂|．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=1+4cosθ\\ y=2+4sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系消去參數(shù)θ，
可得曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-1）²+（y-2）²=16，
直線l經(jīng)過定點(diǎn)P（3，5），傾斜角為$\frac{π}{6}$，可得：
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=5+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）；
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程代入圓的方程可得${t^2}+（3+2\sqrt{3}）t-3=0$，
設(shè)t₁，t₂是方程的兩個(gè)根，則t₁t₂=-3，
∴|PA||PB|=|t₁||t₂|=|t₁t₂|=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．