Question

7．函數f（x）=Asin（?x+φ）（A＞0，0＜?＜4，|φ|＜$\frac{π}{2}$）過點（0，$\frac{1}{2}$），且當x=$\frac{π}{6}$時，函數f（x）取得最大值1．
（1）將函數f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位得到函數g（x），求函數g（x）的表達式；
（2）在（1）的條件下，函數h（x）=f（x）+g（x）+2cos²x-1，如果對于?x₁，x₂∈R，都有h（x₁）≤h（x）≤h（x₂），求|x₁-x₂|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由函數的最值求出A，由特殊點的坐標求出φ的值，由五點法作圖求出ω，可得f（x）的解析式，再根據y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式．
（2）由條件利用正弦函數的最值以及周期性，求得|x₁-x₂|的最小值．

解答 解：（1）由題意A=1，將點（0，$\frac{1}{2}$）代入解得 $sinφ=\frac{1}{2}$，$φ=\frac{π}{6}$，
再根據$?×\frac{π}{6}+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，結合0＜?＜4，
所以?=2，$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$．
將函數f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位得到函數 $g（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）$的圖象．
（2）函數h（x）=f（x）+g（x）+2cos²x-1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），故函數的周期T=π．
對于?x₁，x₂∈R，都有h（x₁）≤h（x）≤h（x₂），故|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{2}$．

點評 本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數的最值求出A，由特殊點的坐標求出φ的值，由五點法作圖求出ω，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．