Question

已知f（x）=xlnx
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)x≥1時，2x-e≤f（x）恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)，討論k的符號，得到g'（x）的符號從而得到函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)h（x）=xlnx-2x+e（x≥1）令h'（x）=0，然后討論導(dǎo)數(shù)為0在定義域內(nèi)的導(dǎo)數(shù)符號，根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，可證得f（x）≥2x-e，設(shè)G（x）=lnx-，利用導(dǎo)數(shù)研究G（x）為單調(diào)性即可證得f（x），從而得到結(jié)論．
解答：解：（1）g（x）=lnx+∴得x=k∵x＞0∴k≤0時g'（x）＞0所以函數(shù)g（x）的增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間；當(dāng)k＞0時g'（x）＞0得x＞k；g'（x）＜0得0＜x＜k∴增區(qū)間為（k，+∞），減區(qū)間為（0，k）（2分）
（2）設(shè)h（x）=xlnx-2x+e（x≥1）
令h'（x）=lnx-1=0得x=e
所以

x	1	（1，e）	e	（e，+∞）
h'（x）		-		+
h（x）	e-2	↓		↑

所以h（x）≥0∴f（x）≥2x-e（4分）
設(shè)G（x）=lnx-
所以G（x）為增函數(shù)，所以G（x）≤G（1）=0
所以lnx-
所以f（x）
綜上：當(dāng)x≥1時，2x-e≤f（x）恒成立
點(diǎn)評：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力和運(yùn)用函數(shù)思想分析解決問題的能力及分類討論的思想方法，屬于難題．