Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{x+2}$，
（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性并加以證明；
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用單調(diào)函數(shù)的定義證明函數(shù)的單調(diào)性設(shè)0＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）＞0，得到f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
（2）當(dāng)x≥0時利用分式的性質(zhì)求值域因為0≤x＜x+2，得到$\frac{x}{x+2}$＜1，即0≤f（x）＜1．

解答 解：（1）設(shè)0＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{2}+2）{（x}_{1}+2）}$＞0，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)x≥0時，f（x）=$\frac{x}{x+2}$＞0，
又$\frac{x}{x+2}$=1-$\frac{2}{x+2}$＜1，即0≤f（x）＜1；
當(dāng)x＜0（x≠-2）時，f（x）=$\frac{-x}{x+2}$=y，
∴x=$\frac{-2y}{y+1}$，由x＜0，得y＜-1或y＞0，
∴f（x）的值域為（-∞，-1）∪[0，+∞）．

點評 本題主要考查利用單調(diào)函數(shù)的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，利用反函數(shù)與導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，解決此類問題的方法是熟悉單調(diào)函數(shù)的定義與求值域的方法．