Question

13．已知在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的圓心在射線$θ=\frac{π}{4}$上，且與直線$ρ=-\frac{1}{sinθ}$相切于點(diǎn)$（\sqrt{2}，\frac{7π}{4}）$．
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）若$α∈[0，\frac{π}{4}）$，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=2+tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)），直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出圓C的直角坐標(biāo)方程，即可求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）將$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα，\;\;\\ y=2+tsinα，\;\;\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入圓C的直角坐標(biāo)方程（x-1）²+（y-1）²=4，利用韋達(dá)定理、參數(shù)的意義，即可求弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍．

解答 解：（1）∵點(diǎn)$（{\sqrt{2}，\;\;\frac{7π}{4}}）$的直角坐標(biāo)為（1，-1），射線的方程為y=x（x＞0），
所以圓心坐標(biāo)為（1，1），半徑r=2，
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+（y-1）²=4．
化為極坐標(biāo)方程是ρ²-2ρ（cosθ+sinθ）-2=0．
（2）將$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα，\;\;\\ y=2+tsinα，\;\;\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入圓C的直角坐標(biāo)方程（x-1）²+（y-1）²=4．
得（1+tcosα）²+（1+tsinα）²=4，
即t²+2t（cosα+sinα）-2=0．
∴t₁+t₂=-2（cosα+sinα），t₁•t₂=-2．
∴$|AB|=|{t_1}-{t_2}|=2\sqrt{3+sin2α}$．
∵$α∈[{0，\;\;\frac{π}{4}}）$，∴$2α∈[{0，\;\;\frac{π}{2}}）$，
∴$2\sqrt{3}≤|AB|＜4$．
即弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍是$[2\sqrt{3}，\;\;4）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔題．