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3.設點E,F(xiàn)分別是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BC,BB1的中點.如圖,以D為坐標原點,DA,DCDD1為x軸、y軸、z軸正方向,建立空間直角坐標系.
(I)求A1ED1F
(II)若點M,N分別是線段A1E與線段D1F上的點,問是否存在直線MN,使得MN⊥平面ABCD?若存在,求點M,N的坐標;若不存在,請說明理由.

分析 (Ⅰ)利用空間直角坐標系中點及向量坐標表示,計算A1ED1F即可;
(Ⅱ)存在唯一直線MN,使MN⊥平面ABCD,利用平面ABCD的法向量求出點M,N的坐標.

解答 解:(Ⅰ)在給定空間直角坐標系中,相關點及向量坐標為
A1(2,0,2),E(1,2,0),D1(0,0,2),F(xiàn)(2,2,1),
A1E=(-1,2,-2),D1F=(2,2,-1),…(2分)
所以A1ED1F=2+4+2=4;…(4分)
(Ⅱ)存在唯一直線MN,使MN⊥平面ABCD;
設M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2),
\overrightarrow{{A_1}M}=λ\overrightarrow{{A_1}E},\overrightarrow{{D_1}N}=t\overrightarrow{{D_1}F};
則(x1-2,y1,z1-2)=λ(-1,2,-2),
(x2,y2,z2-2)=t(2,2,-1),
所以M(2-λ,2λ,2-2λ),N(2t,2t,2-t),
\overrightarrow{MN}=(2t-2+λ,2t-2λ,2λ-t),…(8分)
若MN⊥平面ABCD,
\overrightarrow{MN}與平面ABCD的法向量\overrightarrow n=(0,0,1)平行,
所以\left\{\begin{array}{l}2t-2+λ=0\\ 2t-2λ=0\end{array}\right.,
解得λ=t=\frac{2}{3};
所以點M,N的坐標分別是(\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{2}{3}),(\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{4}{3}).…(12分)

點評 本題考查了空間向量的坐標表示與應用問題,是綜合性題目.

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