Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²+pn，且a₂，a₅，a₁₀成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=1+$\frac{5}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得a_n=2n-1+p，再根據(jù)a₂，a₅，a₁₀成等比數(shù)列，求出p的值，問題得以解決，
（2）把（1）求出的a_n代入b_n，再求出b_n的表達(dá)式，然后由裂項相消法來求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-1+p，
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1+p，也滿足，
故a_n=2n-1+p，
∵a₂，a₅，a₁₀成等比數(shù)列，
∴（3+p）（19+p）=（9+p）²，
∴p=6，
∴a_n=2n+5，
（2）由（1）可得b_n=$\frac{4{n}^{2}+24n+40}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{（2n+5）（2n+7）+5}{（2n+5）（2n+7）}$=$\frac{5}{2}$（$\frac{1}{2n+5}$-$\frac{1}{2n+7}$）+1，
∴T_n=n+$\frac{5}{2}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$+…+$\frac{1}{2n+5}$-$\frac{1}{2n+7}$）=n+$\frac{5n}{14n+49}$=$\frac{14{n}^{2}+54n}{14n+49}$

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的性質(zhì)以及裂項求和，考查了基礎(chǔ)知識和運(yùn)算能力，屬于中檔題