Question

設(shè)函數(shù)f（x）=6x³（a+2）x²+2ax．
（1）若f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂，且x₁•x₂=1，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）是（-∞，+∞）上的單調(diào)函數(shù)？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由根與系數(shù)關(guān)系列式求得實(shí)數(shù)a的值；
（2）由導(dǎo)函數(shù)恒有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則說(shuō)明不存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）是（-∞，+∞）上的單調(diào)函數(shù)．

解答： 解：（1）由f（x）=6x³（a+2）x²+2ax，得
f′（x）=18x²+6（a+2）x+2a，令f′（x）=0，得18x²+6（a+2）x+2a=0，
設(shè)其兩根為x₁，x₂，
由x₁•x₂=

2a

18

=1，得a=9；
（2）∵f′（x）=18x²+6（a+2）x+2a，圖象為開(kāi)口向上的拋物線，
△=36（a+2）²-8×18a=36（a²+4）＞0，
∴方程18x²+6（a+2）x+2a=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
故不存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）是（-∞，+∞）上的單調(diào)函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，訓(xùn)練了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，是中檔題．