Question

如圖，已知圓M：x²+（y-4）²=4，直線(xiàn)l的方程為x-2y=0，點(diǎn)P是直線(xiàn)l上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的切線(xiàn)PA、PB，切點(diǎn)為A、B．
（1）當(dāng)P的橫坐標(biāo)為

16

5

時(shí)，求∠APB的大�。�
（2）求證：經(jīng)過(guò)A、P、M三點(diǎn)的圓N必過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)和圓的方程的應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,直線(xiàn)與圓

分析：（1）由題可知，圓M的半徑r=2，P(

16

5

，

8

5

)，∠MAP=90°，根據(jù)MP=2r，可得∠MPA=30°，從而可求∠APB的大�。�
（2）設(shè)P的坐標(biāo)，求出經(jīng)過(guò)A、P、M三點(diǎn)的圓的方程即可得到圓過(guò)定點(diǎn)．

解答： 解：（1）由題可知，圓M的半徑r=2，P(

16

5

，

8

5

)，
因?yàn)镻A是圓M的一條切線(xiàn)，所以∠MAP=90°
又因MP=

(0- 16 5 )2+(4- 8 5 )2

=4=2r，
又∠MPA=30°，∠APB=60°； （6分）
（2）設(shè)P（2b，b），因?yàn)椤螹AP=90°，
所以經(jīng)過(guò)A、P、M三點(diǎn)的圓N以MP為直徑，方程為：(x-b)2+(y-

b+4

2

)2=

4b2+(b-4)2

4

，
即（2x+y-4）b-（x²+y²-4y）=0
由

2x+y-4=0 x2+y2-4y=0

，解得

x=0 y=4

或

x= 8 5 y= 4 5

，
所以圓過(guò)定點(diǎn)(0，4)，(

8

5

，

4

5

)（6分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓的綜合，考查圓過(guò)定點(diǎn)，考查兩圓位置關(guān)系，確定圓的方程是關(guān)鍵．