Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求異面直線BC與C₁D₁所成的角；
（2）若E為AA₁的中點(diǎn)，求證：AC₁∥平面B₁D₁E．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由CD∥C₁D₁，得∠BCD是異面直線BC與C₁D₁所成的角（或補(bǔ)角），由此能求出異面直線BC與C₁D₁所成的角． 
（2）連結(jié)A₁C₁，交B₁D₁于點(diǎn)O，連結(jié)OE，由已知條件得OE∥AC₁，由此能證明AC₁∥平面B₁D₁E．

解答： （1）解：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中CD∥C₁D₁，
∴∠BCD是異面直線BC與C₁D₁所成的角（或補(bǔ)角）…（2分）
∴異面直線BC與C₁D₁所成的角為90°． …（4分）
（2）證明：連結(jié)A₁C₁，交B₁D₁于點(diǎn)O，
連結(jié)OE，∵四邊形A₁B₁C₁D₁為平行四邊形，
∴點(diǎn)O是A₁C₁的中點(diǎn)．…（6分）
∵E為AA₁的中點(diǎn)，∴OE∥AC₁，…（8分）
又∵AC₁?平面B₁D₁E，OE?平面B₁D₁E，
∴AC₁∥平面B₁D₁E． …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的求法，考查直線與平面平行的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．