Question

19．設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，若$\sqrt{3}$sin（A+B）=1+cos（A+B），則C的值為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由已知利用三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式可求$\sqrt{3}$sinC+cosC=1，利用兩角和的正弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值即可得：sin（C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍C+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），即可得解C的值．

解答 解：∵$\sqrt{3}$sin（A+B）=1+cos（A+B），
∴$\sqrt{3}$sin（π-C）=1+cos（π-C），可得：$\sqrt{3}$sinC+cosC=1，
∴2sin（C+$\frac{π}{6}$）=1，可得：sin（C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），C+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴C+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得：C=$\frac{2π}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．