Question

14．若m是2和8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的離心率是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{21}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{\sqrt{21}}{3}$

Answer 1

分析 由等比中項(xiàng)的概念列式求得m值，然后分m=4和m=-4求得圓錐曲線的離心率．

解答 解：∵m是2和8的等比中項(xiàng)，
∴m²=16，得m=±4．
若m=4，則圓錐曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}=1$，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
此時(shí)a=2，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}=1$，橢圓離心率為e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$；
若m=-4，則圓錐曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，
此時(shí)a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=\sqrt{7}$，雙曲線離心率e=$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{21}}{3}$．
∴圓錐曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的離心率是$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓與雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．