Question

6．已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AD}$=λ（0＜λ＜1）．
（1）求二面角A-BE-F的大小；
（2）當(dāng)λ為何值時(shí)，平面BEF⊥平面ACD？

Answer 1

分析 （1）由已知中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，我們易得到CD⊥平面ABC，又由E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且AE：AC=AF：AD=λ，λ∈（0，1）．故EF∥CD即EF⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理，即可得到答案．
（2）由（1）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，BE⊥平面ACD，BE⊥AC．故只須讓所求λ的值能證明BE⊥AC即可．在△ABC中求出λ的值．

解答 解：（1）∵AB⊥平面BCD，CD?面BCD，∴AB⊥CD，
又∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．                
又∵$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AD}$，∴EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC，又EF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABC，∴二面角A-BE-F的大小為90⁰．   
（2）由（1）知，BE⊥EF，
若平面BEF⊥平面ACD，
又∵平面BEF∩平面ACD=EF
BE?平面BEF，則BE⊥平面ACD，…（6分）
∴BE⊥AC．              …（7分）
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴$BD=\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{2}tan60°=\sqrt{6}$，
∴$AC=\sqrt{A{B^2}+B{C^2}}=\sqrt{7}$，
由AB²=AE•AC得$AE=\frac{6}{{\sqrt{7}}}$，∴$λ=\frac{AE}{AC}=\frac{6}{7}$，
故當(dāng)$λ=\frac{6}{7}$時(shí)，平面BEF⊥平面ACD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判定，考查三棱錐的體積的求法，在證明面面垂直時(shí)，其常用方法是在其中一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線和另一平面內(nèi)的某一條直線垂直，屬于中檔題．