Question

16．設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，給出如下數(shù)列：
①5，3，1，-1，-3，-5，-7，…；
②-14，-10，-6，-2，2，6，10，14，18，…．
（1）對于數(shù)列①，計(jì)算S₁，S₂，S₄，S₅；對于數(shù)列②，計(jì)算S₁，S₃，S₅，S₇．
（2）根據(jù)上述結(jié)果，對于存在正整數(shù)k，滿足a_k+a_k+1=0的這一類等差數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和的規(guī)律，猜想一個(gè)正確的結(jié)論，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）直接求和，可得結(jié)論；
（2）a_k+a_k+1=0，2a₁=（1-2k）d，證明S_2k-n-S_n=0即可．

解答 解：（1）對于數(shù)列①S₁=5，S₂=8，S₄=8，S₅=5；②S₁=-14，S₃=-30，S₅=-30，S₇=-14；
（2）∵a_k+a_k+1=0，2a₁=（1-2k）d
S_2k-n-S_n=（2k-n）a₁+$\frac{（2k-n）（2k-n-1）}{2}$d-na₁-$\frac{n（n-1）}{2}d$
=$\fracqkk0usu{2}$[（2k-n）（1-2k）+（2k-n）（2k-n-1）-（1-2k）n-n（n-1）]
=$\fracu8i62au{2}$[2k-4k²-n+2nk+4k²-2kn-2k-2nk+n²+n-n+2kn-n²+n]
=$\fraceeucqsa{2}$•0=0

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列求和，考查歸納推理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．