Question

11．（1）已知cos（15°+α）=$\frac{15}{17}$，α∈（0°，90°），求sin（15°-α） 的值．
（2）已知cosα=$\frac{1}{7}$，cos（α-β）=$\frac{13}{14}$，且0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，求β的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos（15°+α）的值，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式，兩角和的余弦函數(shù)公式可求sin（15°-α）的值．
（2）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinα的值，求出α-β的范圍，然后求出sinα，sin（α-β）的值，即可求解cosβ．然后求出β值．

解答 解：（1）∵cos（15°+α）=$\frac{15}{17}$，α∈（0°，90°），
∴sin（15°+α）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（15°+α）}$=$\frac{8}{17}$，
∴sin（15°-α）=cos[（15°+α）+60°]
=$\frac{1}{2}$cos（15°+α）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（15°+α）=$\frac{1}{2}×$$\frac{15}{17}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{8}{17}$=$\frac{15-8\sqrt{3}}{34}$．
（2）∵cosα=$\frac{1}{7}$，0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴sin$α=\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∵cos（α-β）=$\frac{13}{14}$，且0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴α-β＞0，α-β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sin（α-β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}$=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，
cosβ=cos[（α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）
=$\frac{1}{7}$×$\frac{13}{14}$+$\frac{3\sqrt{3}}{14}$×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴β=$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查角的變化技巧，考查計算能力，屬于中檔題．