Question

6．如圖是一“T”型水渠的平面視圖（俯視圖），水渠的南北方向和東西方向軸截面均為矩形，南北向渠寬為4m，東西向渠寬$\sqrt{2}m$（從拐角處，即圖中A，B處開(kāi)始）．假定渠內(nèi)的水面始終保持水平位置（即無(wú)高度差）．
（1）在水平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A的一條直線(xiàn)與水渠的內(nèi)壁交于P，Q兩點(diǎn)，且與水渠的一邊的夾角為$θ（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，將線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度l表示為θ的函數(shù)；
（2）若從南面漂來(lái)一根長(zhǎng)為7m的筆直的竹竿（粗細(xì)不計(jì)），竹竿始終浮于水平面內(nèi)，且不發(fā)生形變，問(wèn)：這根竹竿能否從拐角處一直漂向東西向的水渠（不會(huì)卡�。�？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出PA，QA，即可將線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度l表示為θ的函數(shù)；
（2）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，$PA=\frac{{\sqrt{2}}}{sinθ}$，$QA=\frac{4}{cosθ}$，
所以l=PA+QA，即$l=\frac{{\sqrt{2}}}{sinθ}+\frac{4}{cosθ}$（$0＜θ＜\frac{π}{2}$）．…（4分）
（2）設(shè)$f（θ）=\frac{{\sqrt{2}}}{sinθ}+\frac{4}{cosθ}$，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．
由$f'（θ）=-\frac{{\sqrt{2}cosθ}}{{{{sin}^2}θ}}+\frac{4sinθ}{{{{cos}^2}θ}}=\frac{{\sqrt{2}（2\sqrt{2}{{sin}^3}θ-{{cos}^3}θ）}}{{{{sin}^2}θ{{cos}^2}θ}}$，…（6分）
令f'（θ）=0，得$tan{θ_0}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．    …（8分）
且當(dāng)θ∈（0，θ₀），f'（θ）＜0；當(dāng)$θ∈（{θ_0}，\frac{π}{2}）$，f'（θ）＞0，
所以，f（θ）在（0，θ₀）上單調(diào)遞減；在$（{θ_0}，\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)θ=θ₀時(shí)，f（θ）取得極小值，即為最小值．…（10分）
當(dāng)$tan{θ_0}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時(shí)，$sin{θ_0}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}$，$cos{θ_0}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}$，
所以f（θ）的最小值為$3\sqrt{6}$，…（12分）
即這根竹竿能通過(guò)拐角處的長(zhǎng)度的最大值為$3\sqrt{6}$m．
因?yàn)?3\sqrt{6}＞7$，所以這根竹竿能從拐角處一直漂向東西向的水渠．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查三角函數(shù)模型，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．