Question

3．已知函數(shù)g（x）=2$\sqrt{3}$sinx•cosx+2cos²x+m在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]的最大值為6
（1）求常數(shù)m的值；
（2）求函數(shù)y=g（-x）的遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值，可得常數(shù)m的值．
（2）求解函數(shù)y=g（-x）的解析式化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

解答 解：（1）函數(shù)g（x）=2$\sqrt{3}$sinx•cosx+2cos²x+m．
化解可得：$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+m+1$，
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
則$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$．
∴$f（x）_{max}^{\;}=3+m=6$，
∴m=3．
（2）由（1）可知g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+4．
則$g（-x）=2sin（-2x+\frac{π}{6}）+4$=$2sin（2x+\frac{5}{6}π）+4$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{5}{6}π≤2kπ+\frac{π}{2}$，（k∈Z）
解得：$kπ-\frac{2}{3}π≤x≤kπ-\frac{π}{6}$，
∴增區(qū)間為$[kπ-\frac{2}{3}π，kπ-\frac{π}{6}]（k∈Z）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．