Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ （a＞0）
（1）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線與x軸平行，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的單調(diào)性；
（3）證明： ＞e．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，（x＞0）

∵函數(shù)f（x）在x=2處的切線與x軸平行

∴f′（2）= ，解得a=

（2）解：∵ = ，（x＞0，a＞0）

令h（x）=ax2+（2a﹣2）x+a，（a＞0），△=4﹣8a

①）當(dāng)△=4﹣8a≤0，即a 時，f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，此時函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增；

②當(dāng)△=4﹣8a＞0，即0＜a 時，拋物線y=ax2+（2a﹣2）x+a的圖象如下，與橫軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1= ，x2=

h（1）=4a﹣2＜0，h（2）=9a﹣4

當(dāng)h（2）=9a﹣4≤0，即0 時，h（x）≤0在（1，2）上恒成立，∴f′（x）≤0在（1，2）上恒成立，此時函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減

當(dāng)h（2）=9a﹣4＜0，即 時，h（x）≤0在（1，x2）上恒成立，h（x）≥0在（x2，2）上恒成立，此時函數(shù)f（x）在區(qū)間[1， ]上單調(diào)遞減

，在（ ，2）上單調(diào)遞增

（3）證明：由（2）可知，當(dāng)a=0.5時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增；即lnx 在區(qū)間[1，2]上恒成立．

令x=1+ ，（n∈N+），則有l(wèi)n（1+ ）＞

（n+0.5）ln ＞1ln（ ）n+0.5＞1 ，

令n=2017，可得 ＞e

【解析】（1） ，（x＞0）由f′（2）= ，解得a（2） = ，（x＞0，a＞0），令h（x）=ax2+（2a﹣2）x+a，（a＞0），△=4﹣8a，分①）當(dāng)△=4﹣8a≤0，即a 時，②當(dāng)△=4﹣8a＞0，即0＜a 討論；（3）由（2）可知，當(dāng)a=0.5時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增；即lnx 在區(qū)間[1，2]上恒成立，令x=1+ ，（n∈N+），則有l(wèi)n（1+ ）＞ （n+0.5）ln ＞1ln（ ）n+0.5＞1 ，令n=2017，可得 ＞e．
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．