Question

【題目】已知函數(shù)(且).

(1)判斷函數(shù)的奇偶性并說明理由;

(2)是否存在實(shí)數(shù),使得當(dāng)的定義域?yàn)?/span>時(shí),值域?yàn)?/span>?若存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析；

(2)存在；.

【解析】

(1)由，可求出的定義域，利用定義法能求出在定義域上為奇函數(shù);

(2)把的定義域?yàn)?/span>時(shí),值域?yàn)?/span>轉(zhuǎn)化為在單調(diào)遞減，進(jìn)一步得到在上有兩個(gè)互異實(shí)根；令，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式組求解.

(1) 由，可得或，

所以的定義域?yàn)?/span>；

因?yàn)?/span>，

且；

所以在定義域上為奇函數(shù).

(2)假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，使得當(dāng)的定義域?yàn)?/span>時(shí),值域?yàn)?/span>；

由 ，又，，

所以 .

又因?yàn)?/span>，

所以在單調(diào)遞減，

所以在單調(diào)遞減，

所以 ，

故，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

即在上有兩個(gè)互異實(shí)根；

于是問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程 在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

令，，

則有 ，解得.

故存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)的定義域?yàn)?/span>時(shí)，值域?yàn)?/span>.