Question

11．已知$\overrightarrow{a}$=（1，-2），$\overrightarrow$=（-3，2）
（1）求（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）的值．
（2）當k為何值時，k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$平行？平行時它們是同向還是反向？

Answer 1

分析 （1）運用向量模的公式，分別求得$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的模，再由向量的平方即為模的平方的性質(zhì)，計算即可得到所求值；
（2）分別求出k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$的坐標，運用向量共線的坐標表示，解方程可得k的值，進而得到它們反向．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{a}$=（1，-2），$\overrightarrow$=（-3，2），
可得|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{9+4}$=$\sqrt{13}$，
則（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）=$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow$²=|$\overrightarrow{a}$|²-|$\overrightarrow$|²=5-13=-7；
（2）k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（k-3，-2k+2），
$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$=（10，-8）
由k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$平行，
則有-8（k-3）=10（-2k+2），
得k=-$\frac{1}{3}$，
從而有k=-$\frac{1}{3}$，k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$平行，
且k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（-$\frac{10}{3}$，$\frac{8}{3}$）與$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$=（10，-8）是反向的．

點評 本題考查向量數(shù)量積的坐標表示和模的求法，以及向量的平方即為模的平方，考查向量共線的坐標表示，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．