Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 數(shù)列{an}滿(mǎn)足，2Sn=an（an+1）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為An ， 求證：對(duì)任意正整數(shù)n，都有An＜ 成立；
（3）數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=（ ）nan ， 它的前n項(xiàng)和為T(mén)n ， 若存在正整數(shù)n，使得不等式（﹣2）n﹣1λ＜Tn+ ﹣2n﹣1成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，當(dāng)n≥2時(shí)， ，

兩式相減得： ，所以（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0．

因?yàn)閿?shù)列{an}為正項(xiàng)數(shù)列，故an+an﹣1≠0，也即an﹣an﹣1=1，

所以數(shù)列{an}為以1為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列，故通項(xiàng)公式為an=n，n∈N*

（2）解： = ，

所以對(duì)任意正整數(shù)n，都有 成立

（3）解：易知 ，則 ，①，

，②

①﹣②可得： ．

故 ，所以不等式 成立，

若n為偶數(shù)，則 ，所以 ．

設(shè) ，則y=﹣2t+t2+1=（t﹣1）2在 單調(diào)遞減，

故當(dāng) 時(shí)， ，所以 ；

若n為奇數(shù)，則 ，所以 ．

設(shè) ，則y=2t﹣t2﹣1=﹣（t﹣1）2在（0，1]單調(diào)遞增，

故當(dāng)t=1時(shí)，ymax=0，所以λ＜0．

綜上所述，λ的取值范圍λ＜0或

【解析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，（2） = ＜ = ﹣ ，利用放縮法即可證明，（3）先利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n ， 不等式（﹣2）n﹣1λ＜Tn+ ﹣2n﹣1成立，轉(zhuǎn)化為 成立，分n為偶數(shù)和奇數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式是解答本題的根本，需要知道數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．