Question

11．設α、β、γ均為實數．
（1）證明：|cos（α+β）|≤|cosα|+|sinβ|；|sin（α+β）|≤|cosα|+|cosβ|．
（2）若α+β+γ=0．證明：|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1．

Answer 1

分析 （1）利用和的余弦、正弦公式，結合三角不等式，即可證明結論；
（2）由（1）可得|cos[α+（β+γ]=|cosα|+|sin（β+γ）|≤|cosα|+|cosβ|+|cosγ|，即可證明結論．

解答 證明：（1）|cos（α+β）|=|cosαcosβ-sinαsinβ|≤|cosαcosβ|+|sinαsinβ|≤|cosα|+|sinβ|；
|sin（α+β）|=|sinαcosβ-cosαsinβ|≤|sinαcosβ|+|cosαsinβ|≤|cosα|+|cosβ|．
（2）由（1）可得|cos[α+（β+γ）]≤|cosα|+|sin（β+γ）|≤|cosα|+|cosβ|+|cosγ|，
∵α+β+γ=0，
∴|cos[α+β+γ]=1
∴|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1．

點評 本題考查和的余弦、正弦公式，考查絕對值三角不等式，考查學生分析解決問題的能力，正確運用絕對值三角不等式是關鍵．