Question

17．已知函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx+1（a∈R），g（x）=x²-1
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)m（x）=f（x）-g（x），當(dāng)x∈（0，e²]時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y=m（x）的最小值為4？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）代入a值，求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）求出m（x）=ax-lnx+2，假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y=m（x）的最小值為4，利用導(dǎo)函數(shù)，分別討論參數(shù)a，求出函數(shù)的最小值判斷是否滿足題意，得出a的值．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x²-x-lnx+1，
f'（x）=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{（x-1）（2x+1），}{x}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減；
∴f（x）的遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1）；
（Ⅱ）m（x）=f（x）-g（x）
=x²+ax-lnx+1-x²+1
=ax-lnx+2，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y=m（x）的最小值為4，
m'（x）=$\frac{ax-1}{x}$，
當(dāng)a=0時(shí)，m'（x）＜0，m（x）遞減，
∴函數(shù)的最小值為m（e²）=4，解得a=$\frac{4}{{e}^{2}}$（舍去），
當(dāng)a＜0時(shí)，m'（x）＜0，m（x）遞減，
∴函數(shù)的最小值為m（e²）=4，解得a=$\frac{4}{{e}^{2}}$（舍去），
0＜a≤$\frac{1}{{e}^{2}}$時(shí)，m'（x）＜0，m（x）遞減，
∴函數(shù)的最小值為m（e²）=4，解得a=$\frac{4}{{e}^{2}}$（舍去），
當(dāng)a＞$\frac{1}{{e}^{2}}$時(shí)，m'（x）＞0，m（x）遞增，
∴函數(shù)的最小值為m（$\frac{1}{a}$）=1+lna+2=4，解得a=e滿足題意，
綜上可知存在實(shí)數(shù)a=e，使得函數(shù)y=m（x）的最小值為4．

點(diǎn)評 考查了利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的最值，難點(diǎn)是對參數(shù)a 的分類討論．