Question

18．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右頂點A（2，0）和上頂點B，直線AB被圓T：x²+y²-10x+16=0所截得的弦長為$\frac{{12\sqrt{7}}}{7}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過橢圓E的右焦點作不過原點的直線l與橢圓E交于M，N兩點，直線MA，NA與直線x=3分別交于C，D兩點，記△ACD的面積為S，求S的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出a=2，直線AB方程為bx+2y-2b=0，由此利用點到直線的距離公式、弦長公式求出b，由此能求出E的方程．
（2）設直線MN的方程為x=my+1，代入E的方程得（3m²+4）y²+6my-9=0，由此利用韋達定理、直線方程，結合已知條件能求出△ACD的面積的最小值．

解答 解：（1）圓T：（x-5）²+y²=9的圓心T（5，0），半徑為3，
∵橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右頂點A（2，0）和上頂點B，∴a=2，
直線AB方程為$\frac{x}{2}+\frac{y}=1$，即bx+2y-2b=0，
點T到直線AB的距離$d=\frac{|5b-2b|}{{\sqrt{{b^2}+4}}}=\frac{3b}{{\sqrt{{b^2}+4}}}$，
由弦長，得${d^2}=\frac{{9{b^2}}}{{{b^2}+4}}=9-{（{\frac{{6\sqrt{7}}}{7}}）^2}=\frac{27}{7}$，解得b²=3，
故E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．…（5分）
（2）設直線MN的方程為x=my+1，代入E的方程得（3m²+4）y²+6my-9=0，…（6分）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，…（7分）
直線MA的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}（x-2）$，
把x=3代入，得${y}_{c}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{y}_{1}}{m{y}_{1}-1}$，同理${y}_{D}=\frac{{y}_{2}}{m{y}_{2}-1}$，…（8分）
∴|CD|=|y_C-y_D|=$\frac{|{y}_{1}-{y}_{2}|}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-m（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}$=3$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
S₁=$\frac{1}{2}$|CD|=$\frac{3}{2}\sqrt{{m}^{2}+1}$，…（10分）
∴當m=0時，有${S_{min}}=\frac{3}{2}$．…（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質、韋達定理、弦長公式的合理運用．