Question

9．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，Q分別是棱D₁C₁，A₁D₁，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在對(duì)角線BD₁上，給出以下命題：
①當(dāng)P在BD₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有MN∥面APC；
②若A，P，M三點(diǎn)共線，則$\frac{BP}{B{D}_{1}}$=$\frac{2}{3}$；
③若$\frac{BP}{B{D}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，則C₁Q∥面APC；
④若過點(diǎn)P且與正方體的十二條棱所成的角都相等的直線有m條；過點(diǎn)P且與直線AB₁和A₁C₁所成的角都為60°的直線有n條，則m+n=7．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①M(fèi)N中點(diǎn)R，AC的中點(diǎn)S，設(shè)BD1與RS的交點(diǎn)是Q，若P與Q重合時(shí)，此時(shí)MN在平面PAC內(nèi)，即可判斷出正誤；
②若A，P，M三點(diǎn)共線，由D₁M∥AB，由平行線的性質(zhì)可得，$\frac{{D}_{1}P}{BP}$=$\frac{{D}_{1}M}{AB}$=$\frac{1}{2}$，即可判斷出正誤；
③若$\frac{BP}{B{D}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，由②可得：A，P，M三點(diǎn)共線，設(shè)對(duì)角線BD∩AC=O，可得四邊形OQC₁M是平行四邊形，于是C₁Q∥OM，即可判斷出正誤．
④若過點(diǎn)P且與正方體的十二條棱所成的角都相等的直線有A₁C，D₁B，AC₁，DB₁，4條．過點(diǎn)P且與直線AB₁和A₁C₁所成的角都為60°的直線有且只有3條，即可判斷出正誤．

解答 解：①M(fèi)N中點(diǎn)R，AC的中點(diǎn)S，設(shè)BD1與RS的交點(diǎn)是Q，若P與Q重合時(shí)，此時(shí)MN在平面PAC內(nèi)，故1錯(cuò)誤
②若A，P，M三點(diǎn)共線，②若A，P，M三點(diǎn)共線，由D₁M∥AB，
∴$\frac{{D}_{1}P}{BP}$=$\frac{{D}_{1}M}{AB}$=$\frac{1}{2}$，則$\frac{BP}{B{D}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，正確；
③若$\frac{BP}{B{D}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，由②可得：A，P，M三點(diǎn)共線，設(shè)對(duì)角線BD∩AC=O，連接OM，OQ，則四邊形OQC₁M是平行四邊形，
∴C₁Q∥OM，
而M點(diǎn)在平面APC內(nèi)，
∴C₁Q∥平面APC，因此正確；
④若過點(diǎn)P且與正方體的十二條棱所成的角都相等的直線有A₁C，D₁B，AC₁，DB₁，4條．
連接B₁C，A₁C₁∥AC，由正方體的性質(zhì)可得△AB₁C是等邊三角形，則點(diǎn)P取點(diǎn)D₁，則直線AD₁，CD₁、D₁B₁滿足條件，∴過點(diǎn)P且與直線AB₁和A₁C₁所成的角都為60°的直線有且只有3條，則m+n=7條，因此正確．
其中正確命題為②③④，其個(gè)數(shù)為3．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方體的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、線面平行的判定與性質(zhì)定理、空間角，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．