Question

19．已知圓O：x²+y²=4和點(diǎn)$M（{1，\sqrt{2}}）$，AB為過(guò)點(diǎn)M的弦．
（Ⅰ）若$|AB|=2\sqrt{3}$，求直線AB的方程；
（Ⅱ）求弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）討論直線的斜率不存在與斜率存在時(shí)，分別求出滿足條件的直線AB的方程；
（Ⅱ）設(shè)出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用OP⊥PM時(shí)${\;}^{\;}\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{MP}=0$，列出方程化簡(jiǎn)即可．

解答 解：（Ⅰ）圓O：x²+y²=4，圓心為O（0，0），半徑為2，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x=1，此時(shí)滿足|AB|=2$\sqrt{3}$；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB為：$y=kx+\sqrt{2}-k$，
由題意得：$\frac{{|\sqrt{2}-k|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，
解得$k=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$；（6分）
所以直線AB的方程為x=1或y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x+$\frac{3\sqrt{2}}{4}$；（8分）
（Ⅱ）設(shè)AB的中點(diǎn)為P（x，y），則OP⊥PM，（10分）
∴${\;}^{\;}\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{MP}=0$，
即${\;}^{\;}（x，y）•（x-1，y-\sqrt{2}）=0$，
∴x（x-1）+y（y-$\sqrt{2}$）=0，
化簡(jiǎn)得${x^2}+{y^2}-x-\sqrt{2}y=0$．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了求點(diǎn)的軌跡方程的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．