Question

8．已知函數(shù)f（x）=ae^x+（2-e）x（a為實數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在x=0處的切線與直線（3-e）x-y+10=0平行．
（1）求實數(shù)a的值，并判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）內(nèi)的零點個數(shù)；
（2）證明：當(dāng)x＞0時，f（x）-1＞xln（x+1）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出a的值，得到函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷函數(shù)的零點即可；
（2）問題等價于$\frac{f（x）-1}{x}＞ln（x+1）$，記g（x）=e^x-（x+1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）f'（x）=ae^x+2-e，由題設(shè)，可知曲線y=f（x）在x=0處的切線的斜率k=f'（0）=a+2-e=3-e，解得a=1，
∴f（x）=e^x+（2-e）x，
∴當(dāng)x≥0時，f'（x）=e^x+2-e≥e⁰+2-e＞0，
∴f（x）在區(qū)間[0，+∞）內(nèi)為增函數(shù)，
又f（0）=1＞0，∴f（x）在區(qū)間[0，+∞）內(nèi)沒有零點．
（2）當(dāng)x＞0時，f（x）-1＞xln（x+1）等價于$\frac{f（x）-1}{x}＞ln（x+1）$，記g（x）=e^x-（x+1），
則g'（x）=e^x-1，當(dāng)x＞0時，g'（x）＞0，
∴當(dāng)x＞0時，g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
∴g（x）＞g（0）=0，即e^x＞x+1，兩邊取自然對數(shù)，得x＞ln（x+1）（x＞0），
∴要證明$\frac{f（x）-1}{x}＞ln（x+1）$（x＞0），只需證明$\frac{f（x）-1}{x}＞x$（x＞0），
即證當(dāng)x＞0時，e^x-x²+（2-e）x-1≥0，①
設(shè)h（x）=e^x-x²+（2-e）x-1，則h'（x）=e^x-2x+2-e，令ϕ（x）=e^x-2x+2-e，
則ϕ'（x）=e^x-2，當(dāng)x∈（0，ln2）時，ϕ'（x）＜0；當(dāng)x∈（ln2，+∞）時，ϕ'（x）＞0．
∴ϕ（x）在區(qū)間（0，ln2）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（ln2，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
又ϕ（0）=3-e＞0，ϕ（1）=0，0＜ln2＜1，
∴ϕ（ln2）＜0，∴存在x₀∈（0，1），使得ϕ（x₀）=0，
∴當(dāng)x∈（0，x₀）∪（1，+∞）時，ϕ（x）＞0；
當(dāng)x∈（x₀，1）時，φ（x）＜0，∴h（x）在區(qū)間（0，x₀）內(nèi)單調(diào)遞增，
在區(qū)間（x₀，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
又h（0）=h（1）=0，∴h（x）=e^x-x²+（2-e）x-1≥0，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，取等號，即①式成立，
∴f（x）-1＞xln（x+1）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．