Question

某公司準備推出一個新產(chǎn)品，打算撥出款項3萬6千元在本地的電視臺做廣告，．當?shù)仉娨暸_廣告部安排該公司的廣告在晚上八點前和九點后做廣告．晚八點前的廣告每秒400元，九點后的廣告每秒600元，每次播出的時間在10到60秒之間．

根據(jù)市場調查研究表明，受廣告影響的人數(shù)依賴于廣告播出的時間以及年齡層次，受廣告影響的人數(shù)總是和廣告播出的時間成正比例．廣告時每秒影響各年齡組的人數(shù)(千人)估計如表所示．

現(xiàn)在的要求是廣告宣傳至少要影響1500000個年輕人，2000000個中年人和2000000個老年人．該公司也估計了在第一個月內受廣告影響的人中，每10個年輕人中有1人、20個中年人中1人、50個老年人中1人將購買一件新產(chǎn)品〈并且假設沒有一個人第二次再買〉，則若使第一個月的銷售額最大，如何來安排廣告？

Answer 1

答案：
解析：

解析：本題涉及的變量較多，因此弄清問題的意義，確定變量并尋找變量間的關系就顯得特別重要． 　　(1)變量情況． 　　主要變量：限制在10秒和60秒之間的兩次廣告時間； 　　制約變量：總的費用≤36 000元，需影響年輕人數(shù)≥1500千人，需影響中年人數(shù)≥2 000千人，需影響老年人數(shù)≥2000千人． 　　(2)變量間的關系： 總的　　費用＝(購買的時間×每秒價格)之和； 　　影響的人數(shù)＝(購買的時間×相應年齡組每秒影響的人數(shù))之和； 　　銷售額＝(占影響人數(shù)的份額×對應組影響的人數(shù))之和． 　　(3)建模與求解：記x、y分別表示早、晚購買的時間(秒)；S＝第一個月的銷售額(用千人表示)，C＝總的費用(元)；Y、M、O分別表示年輕、中年、老年組受到廣告影響的人數(shù)(千人)． 　　于是有： 　　C＝400x＋600y≤3 600， 　　Y＝30x＋50y≥1500， 　　M＝100x＋80y≥2 000，(*) 　　O＝50x＋40y≥2 000， 　　10≤x≤60，10≤y≤60 　　要求S＝0.1Y＋0.05M＋0.02O＝9x＋9.8y的最大值． 　　符合約束條件(*)的點(x，y)在如上圖所示的六邊形區(qū)域內，求S＝9x＋9.8y的最大值轉化為求直線y＝9x/9.8＋S/9.8的截距S/9.8的最大值．由圖知，當此直線過圖中直線400x＋600y＝3600和x＝60的交點A(60，20)時，截距最大，此時Smax＝9×60＋9.8×20＝736(千人)． 　　(4)結論：如上討論可知，滿意的結果是第一個月的銷售額是736 000(份)只要購買晚八叫點前60秒和九點后20秒的廣告即可．此時，花掉了所有的預算并超過所有年齡組所要求影響的人數(shù)．