Question

1．如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，AF=AB=BC=FE=$\frac{1}{3}$AD，點M在線段CE上，且直線AM與平面CDE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，則CM=$\frac{1}{2}CE$．

Answer 1

分析 由已知可得AB、AD、AF兩兩垂直，以A為坐標原點距離空間直角坐標系，設(shè)AB=1，求出平面CDE的一個法向量，設(shè)點M（p，q，r），由$\overrightarrow{CM}$=λ$\overrightarrow{CE}$，得M（1-λ，1，λ），再由直線AM與平面CDE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$求得λ值得答案．

解答 解：建立如圖所示的直角坐標系，不妨設(shè)AB=1，
則A（0，0，0），C（1，1，0），D（0，3，0），E（0，1，1），
設(shè)平面CDE的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{CD}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，-2，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=-x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=-2y+z=0}\end{array}\right.$，令y=1，得x=z=2，
∴$\overrightarrow{n}$=（2，1，2），
設(shè)點M（p，q，r），由$\overrightarrow{CM}$=λ$\overrightarrow{CE}$，得
p=1-λ，q=1，r=λ，即M（1-λ，1，λ），
∴$\overrightarrow{AM}$=（1-λ，1，λ），
∵直線AM與平面CDE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，得λ=$\frac{1}{2}$，
故點M為CE中點時，直線AM與平面CDE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
此時CM=$\frac{1}{2}CE$．
故答案為：$\frac{1}{2}CE$．

點評 本題考查用空間向量求直線與平面所成的角，及坐標運算等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，求線面角時由于直線的方向向量與平面的法向量的夾角的余弦值與線面角的正弦值相等求解，是中檔題．