Question

13．在△ABC中，若$\frac{1}{sinA}$+$\frac{2}{sinB}$=3（$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$），則cosC的最小值為$\frac{2\sqrt{10}-2}{9}$．

Answer 1

分析 同角三角函數(shù)的基本關系求得sinB+2sinA=3sinC，再利用正弦定理可得b+2a=3c，再利用余弦定理、基本不等式，求得cosC的最小值．

解答 解：△ABC中，若$\frac{1}{sinA}$+$\frac{2}{sinB}$=3（$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$），即$\frac{1}{sinA}$+$\frac{2}{sinB}$=$\frac{3cosA}{sinA}$+$\frac{3cosB}{sinB}$，
即 $\frac{1-3cosA}{sinA}$=$\frac{3cosB-2}{sinB}$，化簡得sinB+2sinA=3sin（A+B）=3sinC，
由正弦定理可得b+2a=3c，∴cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-（\frac{b+2a}{3}）}^{2}}{2ab}$=$\frac{{5a}^{2}+{8b}^{2}-4ab}{18ab}$≥$\frac{2\sqrt{4{0a}^{2}{•b}^{2}}-4ab}{18ab}$=$\frac{2\sqrt{10}-2}{9}$，
當且僅當$\sqrt{5}$a=2$\sqrt{2}$b時，等號成立，故cosC的最小值為 $\frac{2\sqrt{10}-2}{9}$，
故答案為：$\frac{{2\sqrt{10}-2}}{9}$．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，正弦定理和余弦定理的應用，基本不等式，屬于中檔題．