Question

【題目】已知是拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，，且點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）若為點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于、 兩點(diǎn)，直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）見(jiàn)證明

【解析】

（Ⅰ）設(shè)，，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，代入曲線(xiàn)方程即可整理得到所求的軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)，設(shè)，，將直線(xiàn)與曲線(xiàn)聯(lián)立可得；由拋物線(xiàn)定義可知，若要證得只需證明垂直準(zhǔn)線(xiàn)，即軸；由直線(xiàn)的方程可求得，可將點(diǎn)橫坐標(biāo)化簡(jiǎn)為，從而證得軸，則可得結(jié)論.

（Ⅰ）設(shè)，

為中點(diǎn)

為曲線(xiàn)上任意一點(diǎn) ，代入得：

點(diǎn)的軌跡的方程為：

（Ⅱ）依題意得，直線(xiàn)的斜率存在，其方程可設(shè)為：

設(shè)，

聯(lián)立得：，則

直線(xiàn)的方程為，是直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)

根據(jù)拋物線(xiàn)的定義等于點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離

在準(zhǔn)線(xiàn)上 要證明，只需證明垂直準(zhǔn)線(xiàn)

即證軸

的橫坐標(biāo)：

軸成立 成立