Question

8．設變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y≤0\\ x+2y≤3\\ 4x-y≥-6\end{array}\right.$，則$z={2^x}{（\frac{1}{4}）^y}$的最小值為$\frac{1}{32}$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，由$z={2^x}{（\frac{1}{4}）^y}$=2^x-2y，令t=x-2y，化為y=$\frac{x}{2}-\frac{t}{2}$，由圖求出t的最小值，則答案可求．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y≤0\\ x+2y≤3\\ 4x-y≥-6\end{array}\right.$作出可行域如圖，

$z={2^x}{（\frac{1}{4}）^y}$=2^x-2y，
令t=x-2y，化為y=$\frac{x}{2}-\frac{t}{2}$，
由圖可知，當直線y=$\frac{x}{2}-\frac{t}{2}$過A時，直線在y軸上的截距最大，t有最小值．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{4x-y=-6}\\{x+2y=3}\end{array}\right.$，解得A（-1，2），
∴t的最小值為-5．
∴$z={2^x}{（\frac{1}{4}）^y}$的最小值為${2}^{-5}=\frac{1}{32}$．
故答案為：$\frac{1}{32}$．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．