Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=f（x）+2f（2），若函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且f（3）=2，則f（2015）等于（　�。�

• A、2
• B、3
• C、4
• D、6

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件求出函數(shù)f（x）的奇偶性以及函數(shù)的周期性，將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．

解答： 解：∵函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴當(dāng)函數(shù)y=f（x-1）的圖象向左平移1個(gè)單位得到函數(shù)y=f（x）的圖象，即函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=0對(duì)稱，
則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
令x=-2，
則由f（x+4）=f（x）+2f（2），得f（-2+4）=f（-2）+2f（2），
即f（2）=f（2）+2f（2），即f（2）=0，
則f（x+4）=f（x）+2f（2）=f（x），
即函數(shù)f（x）的周期為4，
則f（2015）=f（503×4+3）=f（3）=2，
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)條件求出函數(shù)f（x）的奇偶性以及函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵．