Question

證明：當(dāng)x＞0時，有x-

x3

6

＜sinx＜x．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)f（x）=x-sinx，f（0）=0．f′（x）=1-cosx，當(dāng)x＞0時，f（x）單調(diào)遞增，從而x＞sinx（x＞0）；設(shè)g（x）=sinx-x+

x3

6

，則g（0）=0，g′(x)=cosx-1+

x2

2

=2[

x

2

-sin

x

2

][

x

2

+sin

x

2

]，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明當(dāng)x＞0時，有x-

x3

6

＜sinx＜x．

解答： 證明：設(shè)f（x）=x-sinx，于是f（0）=0．
∵f′（x）=1-cosx（僅在x=2kπ（k∈Z）處f′（x）=0
∴當(dāng)x＞0時，f（x）單調(diào)遞增，
從而有f（x）＞f（0），即x-sinx＞0，x＞sinx（x＞0）
為證不等式sinx＞x-

x3

6

，x＞0，設(shè)g（x）=sinx-x+

x3

6

，則g（0）=0，
g′(x)=cosx-1+

x2

2

=

x2

2

-2sin2

x

2

=2[(

x

2

)2-(sin

x

2

)2]=2[

x

2

-sin

x

2

][

x

2

+sin

x

2

]，
∵x＞sinx，x＞0，∴

x

2

＞sin

x

2

，x＞0，
∵

x

2

∈(0，

π

2

]時，0＜sin

x

2

≤1，

x

2

∈(

π

2

，+∞)時，-1≤sin

x

2

≤1＜

π

2

，
∴

x

2

+sin

x

2

＞0，x＞0，
于是g′（x）＞0，∴g（x）在x＞0時遞增，從而有g(shù)（x）＞g（0）=0，
sinx＞x-

x3

6

，x＞0，故當(dāng)x＞0時，有x-

x3

6

＜sinx＜x．

點評：本題考查不等式的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．