Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-ln（1-x）
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）求使f（x）＞1的x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)使函數(shù)解析式有意義的原則，可構(gòu)造關(guān)于x的不等式組，求出f（x）的定義域；
（2）由（1）中函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1），再由f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-f（x），可知此函數(shù)為奇函數(shù)．
（3）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為分式不等式，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為整式不等式，可得滿足條件的x的取值范圍．

解答： 解：（1）若使函數(shù)解析式有意義，自變量x須滿足：
x+1＞0，且1-x＞0，
解得：-1＜x＜1，
故f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）
（2）由（1）中函數(shù)的定義域（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又由f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-f（x），
故f（x）為奇函數(shù)
（3）∵f（x）=ln（x+1）-ln（1-x）=ln

1+x

1-x

，
若f（x）＞1，即ln

1+x

1-x

＞1，
∴

1+x

1-x

＞e且-1＜x＜1，
∴1+x＞e-ex且-1＜x＜1，
∴

e-1

e+1

＜x＜1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的定義域，函數(shù)的奇偶性，解不等式，是函數(shù)的圖象和性質(zhì)與不等式的綜合應(yīng)用，難度中檔．