Question

2．設(shè)m=$\frac{200{8}^{\frac{1}{n}}-200{8}^{-\frac{1}{n}}}{2}$（n∈N^*），則（$\sqrt{1+{m}^{2}}$-m）ⁿ的值為（　�。�

• A． 2008^-1
• B． -2008^-1
• C． （-1）ⁿ2008
• D． （-1）ⁿ2008^-1

Answer 1

分析 設(shè)x=$200{8}^{\frac{1}{n}}$＞0，則m=$\frac{x-\frac{1}{x}}{2}$，化為：x²-2mx-1=0，解得x=m+$\sqrt{{m}^{2}+1}$．可得（$\sqrt{1+{m}^{2}}$-m）ⁿ=$（\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}+m}）^{n}$=$（\frac{1}{x}）^{n}$，即可得出．

解答 解：設(shè)x=$200{8}^{\frac{1}{n}}$＞0，則m=$\frac{x-\frac{1}{x}}{2}$，化為：x²-2mx-1=0，解得x=$\frac{2m±2\sqrt{{m}^{2}+1}}{2}$，依題意，x=m+$\sqrt{{m}^{2}+1}$．
∴（$\sqrt{1+{m}^{2}}$-m）ⁿ=$（\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}+m}）^{n}$=$（\frac{1}{x}）^{n}$=$（\frac{1}{200{8}^{\frac{1}{n}}}）^{n}$=$\frac{1}{2008}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．