Question

2．已知函數f（x）的圖象是由函數g（x）=cosx的圖象經如下變換得到：先將g（x）圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），再將所得的圖象向右平移$\frac{π}{2}$個單位長度．
（1）求函數f（x）的解析式，并求其圖象的對稱軸方程；
（2）已知關于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π）內有兩個不同的解α，β．
①求實數m的取值范圍；
②請用m的式子表示cos（α-β）．

Answer 1

分析 （1）由函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得：f（x）=2sinx，從而可求對稱軸方程．
（2）①由三角函數中的恒等變換應用化簡解析式可得f（x）+g（x）=$\sqrt{5}$sin（x+φ）（其中sinφ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，cosφ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$），從而可求|$\frac{m}{\sqrt{5}}$|＜1，即可得解．
②由題意可得sin（α+φ）=$\frac{m}{\sqrt{5}}$，sin（β+φ）=$\frac{m}{\sqrt{5}}$．當1≤m＜$\sqrt{5}$時，可求α-β=π-2（β+φ），當-$\sqrt{5}$＜m＜0時，可求α-β=3π-2（β+φ），由cos（α-β）=2sin²（β+φ）-1，從而得證．

解答 解：（1）將g（x）=cosx的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變）得到y(tǒng)=2cosx的圖象，再將y=2cosx的圖象向右平移$\frac{π}{2}$個單位長度后得到y(tǒng)=2cos（x-$\frac{π}{2}$）的圖象，故f（x）=2sinx，
從而函數f（x）=2sinx圖象的對稱軸方程為x=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）．
（2）①f（x）+g（x）=2sinx+cosx=$\sqrt{5}$（$\frac{2}{\sqrt{5}}$）=$\sqrt{5}$sin（x+φ）（其中sinφ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，cosφ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$）
依題意，sin（x+φ）=$\frac{m}{\sqrt{5}}$在區(qū)間[0，2π）內有兩個不同的解α，β，當且僅當|$\frac{m}{\sqrt{5}}$|＜1，故m的取值范圍是（-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．
②因為α，β是方程$\sqrt{5}$sin（x+φ）=m在區(qū)間[0，2π）內的兩個不同的解，
所以sin（α+φ）=$\frac{m}{\sqrt{5}}$，sin（β+φ）=$\frac{m}{\sqrt{5}}$．
當1≤m＜$\sqrt{5}$時，α+β=2（$\frac{π}{2}$-φ），即α-β=π-2（β+φ）；
當-$\sqrt{5}$＜m＜1時，α+β=2（$\frac{3π}{2}$-φ），即α-β=3π-2（β+φ）；
所以cos（α-β）=-cos2（β+φ）=2sin²（β+φ）-1=2（$\frac{m}{\sqrt{5}}$）²-1=$\frac{2{m}^{2}}{5}$．

點評 本小題主要考查三角函數的圖象與性質、三角恒等變換等基礎知識，考查運算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力，考查函數與方程思想、分類與整體思想、化歸與轉化思想、數形結合思想．