Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，sinθ），$\overrightarrow$=（3，1）．
（1）當θ=$\frac{π}{6}$時，求向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的坐標；
（2）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，且θ∈（0，$\frac{π}{2}$），求sin（2θ+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩個向量坐標形式的運算法則，求得向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的坐標．
（2）根據$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求得sinθ的值，可得cosθ的值，從而利用兩角和的正弦公式求得sin（2θ+$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：（1）因為$θ=\frac{π}{6}$，∴$\overrightarrow{a}$=$（1，\frac{1}{2}）$，于是向量2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=$2（1，\frac{1}{2}）+（3，1）=（5，2）$，
（2）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則$sinθ=\frac{1}{3}$，又因為$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，所以$cosθ=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
所以$sin（2θ+\frac{π}{4}）=sin2θcos\frac{π}{4}+cos2θsin\frac{π}{4}=\frac{{8+7\sqrt{2}}}{18}$．

點評 本題主要考查兩個向量坐標形式的運算，兩個向量共線的性質，同角三角函數的基本關系，兩角和的正弦公式的應用，屬于基礎題．