Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足：${a_1}∈{N^+}，{a_1}≤36$，且${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤18\\ 2{a_n}-36，{a_n}＞18\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，記集合$M=\left\{{{a_n}|n∈{N^+}}\right\}$
（1）若a₁=6，寫出集合M的所有元素；
（2）求集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a₁=6，由于${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤18\\ 2{a_n}-36，{a_n}＞18\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，M={a_n|n∈N^*}．可得a₂=2a₁=12，a₃=24，a₄=12，…，即可得出集合M的所有元素．
（Ⅱ）①由于集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，不妨設(shè)a_k是3的倍數(shù)，由${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤18\\ 2{a_n}-36，{a_n}＞18\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，可歸納證明對(duì)任意n≥k，a_n是3的倍數(shù)．
②對(duì)a₁≤36，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n-1}，{a}_{n}≤18}\\{2{a}_{n-1}-36，{a}_{n}＞18}\end{array}\right.$，（n=1，2，…），可歸納證明對(duì)任意n≥k，a_n＜36（n=2，3，…），由a₁是正整數(shù)，a₂=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}，{a}_{1}≤18}\\{2{a}_{1}-36，{a}_{1}＞18}\end{array}\right.$，可得a₂是2的倍數(shù)．從而當(dāng)n≥2時(shí)，a_n是2的倍數(shù)．如果a₁是3的倍數(shù)，則對(duì)所有正整數(shù)n，a_n是3的倍數(shù)．如果a₁不是3的倍數(shù)，對(duì)所有正整數(shù)n，a_n不是3的倍數(shù)．進(jìn)而得出．

解答 解：（Ⅰ）若a₁=6，由于${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤18\\ 2{a_n}-36，{a_n}＞18\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，M={a_n|n∈N^*}．
∴a₂=2a₁=12，a₃=2a₂=24，a₄=2×a₃-36=12，…，
故集合M的所有元素為6，12，24．
（Ⅱ）①∵集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，∴不妨設(shè)a_k是3的倍數(shù)，
由${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤18\\ 2{a_n}-36，{a_n}＞18\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，可歸納證明對(duì)任意n≥k，a_n是3的倍數(shù)．
如果k=1，M的所有元素都是3的倍數(shù)；
如果k＞1，∵a_k=2a_k-1，或a_k=2a_k-1-36，∴2a_k-1是3的倍數(shù)；于是a_k-1是3的倍數(shù)；
類似可得，a_k-2，…，a₁都是3的倍數(shù)；
從而對(duì)任意n≥1，a_n是3的倍數(shù)；
綜上，若集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，則集合M的所有元素都是3的倍數(shù)
②對(duì)a₁≤36，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n-1}，{a}_{n}≤18}\\{2{a}_{n-1}-36，{a}_{n}＞18}\end{array}\right.$，（n=1，2，…），可歸納證明對(duì)任意n≥k，a_n＜36（n=2，3，…）
∵a₁是正整數(shù)，a₂=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}，{a}_{1}≤18}\\{2{a}_{1}-36，{a}_{1}＞18}\end{array}\right.$，∴a₂是2的倍數(shù)．
從而當(dāng)n≥2時(shí)，a_n是2的倍數(shù)．
如果a₁是3的倍數(shù)，則對(duì)所有正整數(shù)n，a_n是3的倍數(shù)．
因此當(dāng)n≥3時(shí)，a_n∈{12，24，36}，這時(shí)M的元素個(gè)數(shù)不超過5．
如果a₁不是3的倍數(shù)，對(duì)所有正整數(shù)n，a_n不是3的倍數(shù)．
因此當(dāng)n≥3時(shí)，a_n∈{4，8，16，20，28，32}，這時(shí)M的元素個(gè)數(shù)不超過8．
當(dāng)a₁=1時(shí)，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8個(gè)元素．
綜上可得：集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值是8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)的整除性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．