Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-3ax+1（a∈R）
（1）若f（-1）•f（2）＜0，求a的取值范圍；
（2）若對一切實數(shù)x，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f（-1）•f（2）＜0，即（4a+1）（-2a+1）＜0，由此解得a的取值范圍．
（2）當a=0時，不等式即1＞0，滿足條件．
當a≠0時，由

a＞0  △=9a2-4a＜0

，求得實數(shù)a的取值范圍．再把實數(shù)a的取值范圍取并集，即得所求．

解答：解：（1）函數(shù)函數(shù)f（x）=ax²-3ax+1（a∈R），有f（-1）•f（2）＜0，
即（4a+1）（-2a+1）＜0亦即（4a+1）（2a-1）＞0
解得a＜-

1

4

或a＞

1

2

，故a的取值范圍為：a＜-

1

4

或a＞

1

2

；
（2）當a=0時，不等式即1＞0，滿足條件．
當a≠0時，要使不等式ax²-3ax+1＞0對一切x∈R恒成立，
需

a＞0  △=9a2-4a＜0

，解得 0＜a＜

4

9

．
綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是[0，

4

9

）

點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．