Question

11．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別為棱A₁A和B₁B的中點．求：
（I）異面直線AB與D₁N所成的角的正切值；
（II）異面直線CM與D₁N所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB∥D₁C₁，得異面直線CM與D₁N所成角為∠C₁D₁N，由此能求出異面直線AB與D₁N所成的角的正切值．
（Ⅱ）推導(dǎo)出四邊形BND₁E是平行四邊形，從而D₁N∥BE，進而∠BOC=θ是異面直線CM與D₁N所成角，由此能求出異面直線CM與D₁N所成角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別為棱A₁A和B₁B的中點．
∴AB∥D₁C₁，
∴異面直線CM與D₁N所成角為∠C₁D₁N，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為2，則C₁N=$\sqrt{5}$，
∴tan∠C₁D₁N=$\frac{{{C_1}N}}{{{C_1}{D_1}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
∴異面直線AB與D₁N所成的角的正切值為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（Ⅱ）不妨設(shè)正方體棱長為2，取DD₁的中點E，連結(jié)BE，
由題意知ME∥BC，∴CM與BE相交于O點，
∵D₁E$\underset{∥}{=}$BN，∴四邊形BND₁E是平行四邊形，
∴D₁N∥BE，∴∠BOC=θ是異面直線CM與D₁N所成角，
∵OB=OC=$\frac{1}{2}$MC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{{（2\sqrt{2}）}^2}}=\frac{3}{2}$，
∴$cosθ=\frac{{\frac{9}{4}+\frac{9}{4}-4}}{{2×\frac{9}{4}}}=\frac{1}{9}$，
∴異面直線CM與D₁N所成角的余弦值為$\frac{1}{9}$．

點評 本題考查異面直線所成角的正切值和余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．