Question

14．2017年郴州市兩會(huì)召開前夕，某網(wǎng)站推出兩會(huì)熱點(diǎn)大型調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)表明，民生問題時(shí)百姓最為關(guān)心的熱點(diǎn)，參與調(diào)查者中關(guān)注此問題的約占80%，現(xiàn)從參與者中隨機(jī)選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組[15，25），第2組[25，35），第3組[35，45），第4組[45，55），第5組[55，65），得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求出頻率分布直方圖中的a值，并求出這200的平均年齡；
（2）現(xiàn)在要從年齡較小的第1，2，3組用分層抽樣的方法抽取12人，再從這12人中隨機(jī)抽取3人贈(zèng)送禮品，求抽取的3人中至少有1人的年齡在第3組的概率；
（3）若要從所有參與調(diào)查的人（人數(shù)很多）中隨機(jī)選出3人，記關(guān)注民生問題的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖中小矩形的面積之和為1，能求出a．
（2）分層抽樣的方法在第3組中應(yīng)抽取7人，設(shè)事件“抽取3人中至少有1人年齡在第3組”為A，則$\overline{A}$為“抽取的3人中沒有1人年齡有第3組”，由此能求出抽取的3人中至少有1人的年齡在第3組的概率．
（3）X的所有可能值為0，1，2，3，依題意得X～B（3，$\frac{4}{5}$），由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖得：
（0.01+0.015+0.03+a+0.01）×10=1，
解得a=0.035．
（2）分層抽樣的方法在第3組中應(yīng)抽取$\frac{0.035}{0.01+0.015+0.035}×12$=7人，
設(shè)事件“抽取3人中至少有1人年齡在第3組”為A，
則$\overline{A}$為“抽取的3人中沒有1人年齡有第3組”，
則抽取的3人中至少有1人的年齡在第3組的概率：
P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{21}{22}$．
（3）X的所有可能值為0，1，2，3，依題意得X～B（3，$\frac{4}{5}$），
且P（X=k）=${C}_{3}^{k}（\frac{4}{5}）^{k}（\frac{1}{5}）^{3-k}$，k=0，1，2，3，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{64}{125}$

EX=np=3×$\frac{4}{5}$=$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖、對立事件概率乘法公式、二項(xiàng)分布的合理運(yùn)用．