Question

11．如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點在圓周上．設∠BAD=α
（Ⅰ）用α表示AD和CD的長；
（Ⅱ）寫出梯形周長l關(guān)于角α的函數(shù)解析式，并求這個梯形周長的最大值．

Answer 1

分析 （I）過D、C分別作DE⊥AB、CF⊥AB，垂足分別為E、F，在Rt△ABD中，求出AD，在Rt△ADE中，求出AE，然后求解BC，CD即可．
（II）利用梯形ABCD的周長l=AB+BC+CD+AD，說明當點D接近于點A時，$α→\frac{π}{2}$，當點C、D接近重合時，$α→\frac{π}{4}$，得到l=-8cos²α+8cosα+8，（$\frac{π}{4}＜α＜\frac{π}{2}$），利用二次函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 （本題滿分12分）
解：（I）過D、C分別作DE⊥AB、CF⊥AB，垂足分別為E、F，…（1分）
因為′AB為半圓的直徑，AD⊥BD，又∠BAD=α
所以在Rt△ABD中，AD=AB•cosα=4cosα，…（3分）
又在Rt△ADE中，AE=AD•cosα=4cos²α，…（4分）
由等腰梯形ABCD同理可得，BC=4cosαBF=4cos²α，…（5分）
∴CD=EF=4-8cos²α；…（6分）
（II）∵梯形ABCD的周長l=AB+BC+CD+AD，
當點D接近于點A時，$α→\frac{π}{2}$，當點C、D接近重合時，$α→\frac{π}{4}$，
∴l(xiāng)=-8cos²α+8cosα+8，（$\frac{π}{4}＜α＜\frac{π}{2}$），…（8分）
$l=-8{（cosα-\frac{1}{2}）^2}+10$，…（10分）
∴當$cosα-\frac{1}{2}$，即$α=\frac{π}{3}$時，
梯形ABCD的周長l取最大值為10．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)與方程的綜合應用，三角函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．