Question

16．函數(shù)f（x）=|sinx+2cosx|+|2sinx-cosx|的最小正周期為（　　）

• A． 2π
• B． π
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 由題意，不難發(fā)現(xiàn)sinx和cosx相互置換后結(jié)果不變．根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得周期．

解答 解：由f（x）的表達(dá)式可知，sinx和cosx相互置換后結(jié)果不變．
∴f（x+$\frac{π}{2}$）=|sin（x+$\frac{π}{2}$）+2cos（x+$\frac{π}{2}$）|+|2sin（x+$\frac{π}{2}$）-cos（x+$\frac{π}{2}$）|=|cosx-2sinx|+|2cosx+sinx|=f（x）；
可見$\frac{π}{2}$為f（x）的周期，
下面證明$\frac{π}{2}$是f（x）的最小正周期．
考察區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]，當(dāng)0≤x≤$\frac{π}{4}$時(shí)，f（x）=2cosx，f（x）單調(diào)遞減，f（x）由2單調(diào)遞減至$\sqrt{2}$；
當(dāng)$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）=2sinx，f（x）單調(diào)遞增，f（x）由$\sqrt{2}$單調(diào)遞增至2；
由此可見，在[0，$\frac{π}{2}$]內(nèi)不存在小于$\frac{π}{2}$的周期，由周期性可知在任何長度為$\frac{π}{2}$的區(qū)間內(nèi)均不存在小于$\frac{π}{2}$的周期；所以$\frac{π}{2}$即為f（x）的最小正周期，
故選C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．