Question

6．已知△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對應邊分別為α，b，c，且C=$\frac{π}{3}$，c=2．當$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$取得最大值時，$\frac{a}$的值為2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理用A表示出b，代入$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=2bcosA，根據(jù)三角恒等變換化簡得出當$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$取最大值時A的值，再計算sinA，sinB得出答案．

解答 解：∵C=$\frac{π}{3}$，∴B=$\frac{2π}{3}$-A，
由正弦定理得$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
∴b=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{2π}{3}$-A）=2cosA+$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinA，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=bccosA=2bcosA=4cos²A+$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin2A
=2+2cos2A+$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin2A
=$\frac{4}{\sqrt{3}}$（$\frac{1}{2}$sin2A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2A）+2
=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin（2A+$\frac{π}{3}$）+2，
∵A+B=$\frac{2π}{3}$，∴0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴當2A+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$即A=$\frac{π}{12}$時，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$取得最大值，
此時，B=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{12}$=$\frac{7π}{12}$
∴sinA=sin$\frac{π}{12}$=sin（$\frac{π}{3}-\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
sinB=sin（$\frac{π}{3}+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．
∴$\frac{a}=\frac{sinB}{sinA}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$=2+$\sqrt{3}$．
故答案為2+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，三角恒等變換，屬于中檔題．