Question

4．過點P（l，-$\sqrt{3}$）的直線l截圓x²+y²=5所得弦長不小于4，則直線l的傾斜角的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]
• B． [$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]
• C． [$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]
• D． [$\frac{2π}{3}$，π]

Answer 1

分析 當直線的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，此時直線l的傾斜角$α=\frac{π}{2}$；當直線的斜率存在時，設直線l：y=k（x-1）-$\sqrt{3}$，求出圓心（0，0）到直線l：y=k（x-1）-$\sqrt{3}$的距離，由此利用勾股定理求出斜的范圍，從而能求出直線l的傾斜角的取值范圍．

解答 解：當直線的斜率不存在時，直線l的方程為x=1，
把x=1代入圓x²+y²=5，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴直線x=1截圓x²+y²=5所得弦長等于4，此時直線l的傾斜角$α=\frac{π}{2}$；
當直線的斜率存在時，設直線l：y=k（x-1）-$\sqrt{3}$，
圓x²+y²=5的圓心（0，0），半徑r=$\sqrt{5}$，
圓心（0，0）到直線l：y=k（x-1）-$\sqrt{3}$的距離d=$\frac{|-k-\sqrt{3}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵過點P（l，-$\sqrt{3}$）的直線l截圓x²+y²=5所得弦長不小于4，
∴5-$\frac{{k}^{2}+2\sqrt{3}k+3}{{k}^{2}+1}$$≥（\frac{4}{2}）^{2}=4$，
解得k$≤-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
綜上，直線l的傾斜角的取值范圍是[$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]．
故選：C．

點評 本題考查直線的傾斜角的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質、點到直線的距離公式的合理運用．