Question

17．已知過原點的動直線l與圓C₁：x²+y²-6x+5=0．
（1）求直線l與圓相交時，它的斜率K的取值范圍；
（2）當l與圓相交于不同的兩點A，B時，求線段AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）通過將圓C₁的一般式方程化為標準方程，求出圓心與半徑，利用圓心到直線的距離d=$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤2，求出k的取值范圍；
（2）設當直線l的方程為y=kx，通過聯(lián)立直線l與圓C₁的方程，利用根的判別式大于0、韋達定理、中點坐標公式及參數方程與普通方程的相互轉化，計算即得結論

解答 解：（1）∵圓C₁：x²+y²-6x+5=0，
整理，得其標準方程為：（x-3）²+y²=4，
∴圓C₁的圓心坐標為（3，0），半徑為2，
設直線l的方程為y=kx，即kx-y=0，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤2，∴-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$≤k≤$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）設直線l的方程為y=kx、A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
與圓C₁，聯(lián)立方程組，消去y可得：（1+k²）x²-6x+5=0，
由△=36-4（1+k²）×5＞0，可得k²＜$\frac{4}{5}$．
由韋達定理，可得x₁+x₂=$\frac{6}{1+{k}^{2}}$，
∴線段AB的中點M的軌跡C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{1+{k}^{2}}}\\{y=\frac{3k}{1+{k}^{2}}}\end{array}\right.$，其中-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$＜k＜$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴線段AB的中點M的軌跡C的方程為：（x-$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{9}{4}$，其中$\frac{5}{3}$＜x≤3．

點評 本題考查求圓的方程、直線與曲線的位置關系問題，注意解題方法的積累，屬于中檔題．