Question

【題目】如圖,在六棱錐P﹣ABCDEF中,六邊形ABCDEF為正六邊形,平面PAB⊥平面ABCDEF,AB=1,PA,PB=2.

(1)求證:PA⊥平面ABCDEF;

(2)求直線PD與平面PAE所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析 (Ⅱ).

【解析】

(1)利用勾股定理可得PA⊥AB，根據面面垂直的性質定理可證PA⊥平面ABCDEF，

(2) 以A為原點,AB為x軸,AE為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量可求得結果.

(1)證明:∵AB=1,PA,PB=2.

∴AB2+PA2=PB2,∴PA⊥AB,

∵平面PAB⊥平面ABCDEF,平面PAB∩平面ABCDEF=AB,

∴PA⊥平面ABCDEF.

(2)解:∵在六棱錐P﹣ABCDEF中,六邊形ABCDEF為正六邊形,

∴AB⊥AE,

以A為原點,AB為x軸,AE為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標系,

P(0,0,),D(1,,0),(1,,),

平面PAE的法向量(1,0,0),

設直線PD與平面PAE所成角為θ,

則sinθ.

∴直線PD與平面PAE所成角的正弦值為.