Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx（x∈R）
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在x=3處的切線與直線24x-y+1=0平行，函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求f（x）的解析式和單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=1，且函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù) f'（1）=0，f'（3）=24確定函數(shù)的解析式，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）將a=1代入函數(shù)f（x）后對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)f′（x）=3x²+b≤0在[-1，1]上恒成立轉(zhuǎn)化為b≤-3x²在[-1，1]上恒成立求出b的值．

解答 解：（1）已知函數(shù)f（x）=ax³+bx（x∈R），∴f′（x）=3ax²+b
又函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)x=3處的切線與直線24x-y+1=0平行，
且函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，∴f′（3）=27a+b=24，
且f′（1）=3a+b=0，解得a=1，b=-3
∴f（x）=x³-3x
令f′（x）=3x²-3≤0得：-1≤x≤1，令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
所以函數(shù)在（-∞，-1）遞增，在[-1，1]遞減，在（1，+∞）遞增；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x³+bx（x∈R），又函數(shù)f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)
∴f′（x）=3x²+b≤0在[-1，1]上恒成立
即b≤-3x²在[-1，1]上恒成立∴b≤-3
當(dāng)b=-3時(shí)，f′（x）不恒為0，∴b≤-3．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的增減性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)的關(guān)系．屬中檔題．