Question

6．已知動圓M過定點P（1，0），且與直線x=-1相切．
（1）求動圓圓心M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)A、B是軌跡C上異于原點O的兩點，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，求證：直線AB過定點．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（x，y）求出PM和M到切線x=-1的距離，列出方程整理化簡即可得出軌跡方程；
（2）設(shè)直線AB的方程為x=ty+m，聯(lián)立方程組消元，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根與系數(shù)的關(guān)系計算x₁x₂，y₁y₂，令x₁x₂+y₁y₂=0即可得出m，得出AB的定點坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），
M到直線x=-1的距離為|x+1|，又|PM|=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，
∴|x+1|=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$，兩邊平方得x²+2x+1=x²-2x+1+y²，
∴y²=4x．
∴動圓圓心M的軌跡C的方程為y²=4x．
（2）設(shè)直線AB為：x=ty+m，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消元得y²-4ty-4m=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m．
∴x₁x₂=（ty₁+m）（ty₂+m）=t²y₁y₂+mt（y₁+y₂）+m²，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=-4mt²+4mt²+m²-4m=m²-4m=0，
解得m=4或m=0（舍）．
∴直線AB恒過定點（4，0）．

點評 本題考查了軌跡方程的求解，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．